लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$

चरण 1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$

चरण 2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $3$ $3 \times 3$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ I_{3})$

चरण 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{3}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.4.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.6.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.6.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.7.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.7.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.8.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.8.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

चरण 4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} x - λ & y + 0 & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

चरण 4.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} x - λ & y & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

चरण 4.3.2

$z$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

चरण 4.3.3

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

चरण 4.3.4

$z$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

चरण 4.3.5

$x$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y + 0 & z - λ \end{array}]$

चरण 4.3.6

$y$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y & z - λ \end{array}]$

चरण 5

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

चरण 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

चरण 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

चरण 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

चरण 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} | - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2

$| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = (x - λ) ((y - λ) (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(y - λ) (z - λ)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (x - λ) (y (z - λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.3

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.2.3.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.3.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.5

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.2

$y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$y z$ में से $y z$ घटाएं.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2} + 0) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.2.2

$- y λ - λ z + λ^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.2.2.3

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.3

$| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x (z - λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 x (- λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.3.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 \cdot - 1 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.3.2.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z - 2 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.3.2.2

$2 x z$ में से $x z$ घटाएं.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (1 x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.3.2.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

चरण 5.4

$| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x (y - λ))$

चरण 5.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - x (- λ))$

चरण 5.4.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - 1 \cdot - 1 x λ)$

चरण 5.4.2.1.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + 1 x λ)$

चरण 5.4.2.1.3.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + x λ)$

चरण 5.4.2.2

$2 x y$ में से $x y$ घटाएं.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (1 x y + x λ)$

चरण 5.4.2.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$- 1 z$ को $- z$ के रूप में फिर से लिखें.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.2

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2})$ का प्रसार करें.

$p (λ) = x (- y λ) + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = - x y λ + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.3

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.3.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - (λ \cdot λ) (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.3.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ^{2} (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.6

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.7

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.7.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - (λ \cdot λ) (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.7.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ^{2} (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.8

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - 1 \cdot - 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.10

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.11

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.11.1

$λ^{2}$ ले जाएं.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.11.2

$λ^{2}$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.11.2.1

$λ$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ^{1}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.11.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{2 + 1} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.3.11.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z) - y (- 2 x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.5

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y (x λ) + z (x y + x λ)$

चरण 5.5.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$

चरण 5.5.2

$- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

गुणनखंडों को $- y x z$ और $z x y$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y z + 2 y x λ + x y z + z x λ$

चरण 5.5.2.2

$- x y z$ और $x y z$ जोड़ें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0 + z x λ$

चरण 5.5.2.3

$- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + z x λ$

चरण 5.5.2.4

गुणनखंडों को $- x z λ$ और $z x λ$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + x z λ$

चरण 5.5.2.5

$- x z λ$ और $x z λ$ जोड़ें.

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0$

चरण 5.5.2.6

$- x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$

चरण 5.5.3

$- x y λ$ और $2 y x λ$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

$y$ ले जाएं.

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y λ + 2 x y λ$

चरण 5.5.3.2

$- x y λ$ और $2 x y λ$ जोड़ें.

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 1 x y λ$

चरण 5.5.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

चरण 5.5.5

$λ^{2}$ और $y$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

चरण 5.5.6

$λ^{2}$ और $z$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} + x y λ$

चरण 5.5.7

$- λ^{3}$ ले जाएं.

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} + x y λ - λ^{3}$

चरण 5.5.8

$z λ^{2}$ ले जाएं.

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + x y λ + z λ^{2} - λ^{3}$

चरण 5.5.9

$y λ^{2}$ ले जाएं.

$p (λ) = x λ^{2} + x y λ + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

चरण 5.5.10

$x λ^{2}$ और $x y λ$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

चरण 6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

चरण 7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x y λ$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y) + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

चरण 7.1.2

$x λ^{2}$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y) + λ (x λ) + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

चरण 7.1.3

$y λ^{2}$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

चरण 7.1.4

$z λ^{2}$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) - λ^{3} = 0$

चरण 7.1.5

$- λ^{3}$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

चरण 7.1.6

$λ (x y) + λ (x λ)$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y + x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

चरण 7.1.7

$λ (x y + x λ) + λ (y λ)$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

चरण 7.1.8

$λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ)$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

चरण 7.1.9

$λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2})$ में से $λ$ का गुणनखंड करें.

$λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$

चरण 7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$λ = 0$

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

चरण 7.3

$λ$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ = 0$

चरण 7.4

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

चरण 7.4.2

$λ$ के लिए $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = - 1$ , $b = x + y + z$ और $c = x y$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $λ$ के लिए हल करें.

$\frac{- (x + y + z) \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (x y))}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.2

${(x + y + z)}^{2}$ को $(x + y + z) (x + y + z)$ के रूप में फिर से लिखें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{(x + y + z) (x + y + z) - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.3

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x + y + z) (x + y + z)$ का प्रसार करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x \cdot x + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.4.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.4.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.4.3

$z$ को $z$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.5

$x y$ और $y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.5.1

$y$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.5.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.6

$x z$ और $z x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.6.1

$z$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + x z + x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.6.2

$x z$ और $x z$ जोड़ें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + 2 x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.7

$y z$ और $z y$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.7.1

$z$ और $y$ को पुन: क्रमित करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.7.2

$y z$ और $y z$ जोड़ें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.8

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 4 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.9

$2 x y$ और $4 x y$ जोड़ें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$

चरण 7.4.2.3.3

$\frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$ को सरल करें.

$λ = \frac{x + y + z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

चरण 7.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

चरण 7.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$